Exercice
Session normale 2004
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct `(O, vec(e_1) , vec(e_2))` on considère les points `A, B , C` d'affixes respectives
`a = 2i ` , ` b = sqrt(2)(1+i)` et `c= a+b`
1) Ecrire les nombres complexes `a` et `b` sous forme trigonométrique
2a) Placer les points `A, B , C`
b) Montrer que `OBCA` est un losange
c) Montrer que `arg(c)= (3pi)/8[2pi]`
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct `(O, vec(e_1) , vec(e_2))` on considère les points `A, B , C` d'affixes respectives
`a = 2i ` , ` b = sqrt(2)(1+i)` et `c= a+b`
1) Ecrire les nombres complexes `a` et `b` sous forme trigonométrique
2a) Placer les points `A, B , C`
b) Montrer que `OBCA` est un losange
c) Montrer que `arg(c)= (3pi)/8[2pi]`
4 réponses
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct `(O, vec(e_1) , vec(e_2))` on considère les points `A, B , C` d'affixes respectives
`a = 2i ` , ` b = sqrt(2)(1+i)` et `c= a+b`
On a `a = 2i = 2( cos((pi)/2) + i sin((pi)/2)) = [2, (pi)/2]`
On a `1+i = sqrt(2) ( 1/(sqrt(2) ) +1/(sqrt(2))i) `
` = sqrt(2) ( cos((pi)/4) + i sin((pi)/4)) `
`=> b = sqrt(2)xxsqrt(2) ( cos((pi)/4) + i sin((pi)/4))`
`a = 2i ` , ` b = sqrt(2)(1+i)` et `c= a+b`
1) Ecrire les nombres complexes `a` et `b` sous forme trigonométrique
On a `a = 2i = 2( cos((pi)/2) + i sin((pi)/2)) = [2, (pi)/2]`
On a `1+i = sqrt(2) ( 1/(sqrt(2) ) +1/(sqrt(2))i) `
` = sqrt(2) ( cos((pi)/4) + i sin((pi)/4)) `
`=> b = sqrt(2)xxsqrt(2) ( cos((pi)/4) + i sin((pi)/4))`
Avez vous une question
2a) Placer les points `A, B , C`
Avez vous une question
b) Montrer que `OBCA` est un losange
On a `c = a +b <=> vec(OC)= vec(OA) + vec(OB) <=> `
` OBCA` est un parallélogramme
de plus on a ` abs(a)= 2 = abs(b) `
alors `OBCA` est un parallélogramme ayant deux cotés consécutifs égaux donc c'est un losange
Avez vous une question
c) Montrer que `arg(c)= (3pi)/8[2pi]`
On a `arg(c)= (bar(vec(e_1) , vec(OC))) [2pi]`
` = (bar(vec(e_1) , vec(OB))) + (bar(vec(OB) , vec(OC))) [2pi]`
` = (bar(vec(e_1) , vec(OB))) + underbrace{ 1/2(bar(vec(OB) , vec(OA)))}_{ text{ OBCA est losange } } [2pi]`
` = arg(b) + 1/2arg(a/b) [2pi] `
` = arg(b) +1/2arg(a) -1/2arg(b) [2pi]`
` = 1/2(arg(a) +arg(b))[2pi]`
` = 1/2 ( (pi)/2 +(pi)/4) [2pi] `
` = (3pi)/8[2pi] `
Avez vous une question